בנם של סלימה וסלמן. נולד בתרצ"ג (1933) בבגדאד שבעיראק.

יעקב גדל והתחנך בבגדאד. ילד טוב לב, חייכן ואהוב על הבריות. בשנת 1951, כשהיה כבן שבע-עשרה, עלה לישראל עם משפחתו מתוך ציונות ורצון לחיים טובים יותר. בני המשפחה השתקעו בעיר גבעתיים ויעקב למד בתיכון "אליאנס" בתל אביב, התאקלם במהירות ורכש חברים.

יעקב היה בן מסור ואח אוהב ותומך שדאג לרווחת בני משפחתו ועמד תמיד לצידם.

בסיום לימודיו התגייס לצה"ל ושירת כלוחם בחטיבת "גולני". במהלך שירותו הצבאי חלה בדלקת ריאות. בעקבות סיבוכים של המחלה, סבל ממחלת ריאות קשה ונזקק לאשפוזים רבים בבתי חולים. יעקב שוחרר מהצבא, עבר שיקום והוכר כנכה צה"ל.

כשהיה בן עשרים וחמש, פגש את שרה דרך חברים משותפים. עד מהרה האהבה ביניהם פרחה והם נישאו. במהלך השנים נולדו לבני הזוג שלושה ילדים, רותי, אירית וסנדי.

המשפחה הייתה כל עולמו. יעקב היה בן זוג למופת ואב מסור שגידל את ילדיו בחום ובאהבה וחינך אותם לערכים טובים. הוא היה מעורב בחיי ילדיו, שיחק עימם וחילק להם עצות טובות לחיים. במיוחד אהב ללכת איתם בשבתות לשחות בבריכת "גורדון" בתל אביב.

משבגרו ילדיו והקימו משפחות, זכה לנכדים. יעקב היה סבא חם ומפנק שהרעיף אהבה על נכדיו. הוא היה קשור אליהם, דאג להם ובילה עימם בכל הזדמנות. המפגשים המשפחתיים בחגים ומדי שבוע בארוחות שישי הסבו לו נחת וגאווה והוא ציפה להם בקוצר רוח.

יעקב הכניס אור גדול ואהבה אין קץ לחיי יקיריו, חבריו ומכריו. נודע כחבר טוב ונאמן, שאפשר לסמוך עליו בעת צרה, חבר אמת שמטה אוזן קשבת ונכון לסייע. מכריו הרגישו בנוח לשתף אותו בהתלבטויותיהם ולומר את שעל ליבם, והוא מצידו הקדיש את מלוא תשומת הלב ונתן חיבוק, מילה או עצה טובה. ברוחב ליבו, בנועם הליכותיו ובאופיו הנדיב התחבב בקלות על כל סובביו.

יעקב עג'מי נפטר ביום כ' באדר ב' תשע"א (26.3.2011). בן שבעים ותשע בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין ירקון שבפתח תקווה. הותיר אחריו אישה, שתי בנות ובן, ואחים.

על מצבתו חקקו אוהביו מילות שיר: "איפה ישנם עוד אנשים כמו האיש הזה", וסנדי בנו כתב: "אבא יקר, אתה חסר, אוהבים אותך".